14.10.2020
Gegeben ist die Dirichlet-Funktion \(f\) \[ f(x)= \begin{cases} 1~\text{wenn}~x \in \mathbb{Q} \\ 0~\text{wenn}~x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases} \]
\(f(x)\) hat den Definitionsbereich \(D_f = \mathbb{R}\)
Eine Funktion \(f\) ist stetig an \(x_0\), wenn zu jedem \(\epsilon > 0\) ein \(\delta > 0\) existiert, so dass für alle \(x \in D_f\) folgendes gilt:
\[ |x-x_0| < \epsilon \]\[ |f(x) - f(x_0)| < \delta \]
Daraus folgt umgekehrt dass, falls für ein gegebenes \(\epsilon\) kein solches \(\delta\) existiert, dass die Funktion nicht stetig ist.
Für die Dirichlet-Funktion wähle ich das \(\epsilon = 0,5\), da der Sprung zwischen \(0\) und \(1\) größer als \(0,5\) ist. Es bleibt also zu beweisen dass in jedem beliebig kleinen Interval \(\delta\) um ein \(x \in \mathbb{R}\) ein Sprung vorliegt.
Falls \(x \in \mathbb{Q}\) ist, so kann ein entsprechendes \(y \in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}\) gefunden werden, indem eine beliebige irrationale Zahl \(0 < z < 1\) mit \(\delta\) multipliziert wird, und zum originalem \(x\) addiert wird. Beispiel mit \(\sqrt{2}\) als irrationaler Zahl.
\[ y = x + \frac{1}{\sqrt{2}} \times \delta \]
Falls \(x \in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}\) ist, so kann ein entsprechendes \(y \in \mathbb{Q}\) gefunden werden, indem die dezimale Ausschreibweiße nach ausreichender Genauigkeit abgeschnitten wird. Die entsprechende Dezimalzahl kann immer als Bruch in der Form \(y=\frac{k}{10^n}, k,n \in \mathbb{N}\)
Das gefundene \(y\) wird immer einen Sprung um entweder \(+1\) oder \(-1\) im Graphen hervorrufen, \(\implies\) die Dirichlet-Funktion \(f\) ist an keiner Stelle stetig.
Da Stetigkeit an einer Stelle eine notwendige Bedingung für die Differenzierbarkeit an ebendieser Stelle ist, ist die Dirichlet-Funktion an keiner Stelle differenzierbar.