Übungsblatt Nr 6

Gruppennummer	Übungsleiterin	Name
10	Eya Chemangui	Roman Gräf
07	Keyoumars Kayhanfar	Krist-Obi Fredrick
07	Keyoumars Kayhanfar	Johannes Yaunan

H1

	(i)	(ii)	(iii)	(iv)
a	false	true	true	true
b	true	false	true	false
c	false	true	false	true
d	true	false	false	true
e	true	true	true	false

H2

\(v_1=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} v_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix} v_3=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix} v_4=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\)

a)

\[a\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\]

\[I:a+b=c\] \[II:b+c=a\] \[III:a+c=b\] \[IV=I\text{ in }II\text{ einsetzen:}b+a+b=a\stackrel{-a}{\implies}2b=0\stackrel{:2}{\implies}b=0\] \[V=IV\text{ in }I\text{ einsetzen:}a+0=a=c\] \[V\text{ und }IV\text{ in }III\text{ einsetzen:}a+a=0\implies a=0\]

\[a=c=b=0\]

b)

\[a\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}+d\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\] \[I:a+b-c=0\] \[II:a-b+c+d=0\] \[III:-a+b+c+d=0\]

\[\begin{array}\\ I: &a&+b&-c& &=0\\ II:&a&-b&+c&+d&=0\\ II+III:& & & c&+d&=0 \end{array}\]

\[\begin{array}\\ a+b-c&=0\\ a-b&=0 \end{array}\]

Dies ist ein unterbestimmtes LGS, dementsprechend handelt es sich um linear abhängige Vektoren.

c)

1. \(1\cdot k=1\land 1\cdot k=-1 \land -1\cdot k=1 \implies k=0\), dementsprechend linear unabhängig.
1. \(v_2-v_1=\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix},v_3+v_1=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\). Die dritte Zeile besagt: \(-2k=0\implies k=0\), dementsprechend sind die Vektoren linear unabhängig.
1. Um \(\mathbb{R}^3\) aufzuspannen bräuchten wir mindestens 3 linear unabhängige Vektoren \(\implies\) falsch.
1. Wir haben in der a) gezeigt dass es sich um linear unabhängige Vektoren handelt, dementsprechend bilden die Vektoren eine Basis.