| Gruppennummer | Übungsleiterin | Name |
|---|---|---|
| 10 | Eya Chemangui | Roman Gräf |
| 07 | Keyoumars Kayhanfar | Krist-Obi Fredrick |
| 07 | Keyoumars Kayhanfar | Johannes Yaunan |
Zu zeigen: \(A\) ist orthogonal impliziert dass \(A\) invertierbar ist und \(A^{-1}=A^T\) gilt.
Eine Matrix \(A\) ist invertierbar, wenn diese quadratisch ist und eine \(det(A) \ne 0\) hat. Da wir nur quadratische Matrixen betrachten, bleibt zu zeigen, dass die Determinante orthogonaler Matrixen immer \(\ne 0\) ist.
Die Determinante einer \(n \times n\) Matrix ist genau dann \(=0\), wenn \(Rang(A) < n\). Der Rang beschreibt die Anzahl linear unabhängiger Zeilen/Spalten in einer Matrix. Da bei einer orthogonalen Matrix alle Zeilen/Spalten paarweise orthogonal, d.h. linear Unabhängig, sind, ist der \(Rang(A)\) der orthogonalen Matrix \(=n\). Daraus folgt dass die Determinante der orthogonalen Matrix \(\ne 0\), und dementsprechend ist \(A\) invertierbar.
Bleibt zu zeigen dass \(A^{-1}=A^T\):
Da es sich bei \(A=\left( a_1, \ldots, a_n \right)\) um eine orthogonale Matrix handelt, gilt: \(\langle a_i, a_j\rangle =\left\{\begin{array}{cc}0 & i \neq j \\ 1 & i=j\end{array}\right.\), da ein normierter Vektor mit sich selbst multipliziert \(=1\) ist, und alle anderen Vektoren einer orthogonalen Matrix jeweils paarweise orthogonal sind.
Zu zeigen: \(AA^{T} = I\)
Das ist equivalent dazu, zu zeigen das: \(I_{i,j} = \langle A_{i}, A^{T}_{j}\rangle\)
Das ist der Fall, falls \(i=j\implies \langle A_i, A^T_j\rangle = 1\), und für alle anderen Fälle \(\langle A_i, A^T_j\rangle = 0\).
Zu zeigen \(AA^{-1}=I\land A^T=A^{-1}\implies\) die Zeilen von \(A\) bilden eine Orthonormalbasis.
Aus \(AA^T=I\) folgt, dass das Produkt zweier ungleicher Vektoren aus \(A\) stehts null ergibt. Dementsprechend sind alle Zeilen aus \(A\) paarweise orthogonal, d.h. die Zeilen aus \(A\) bilden eine Orthogonalbasis.
Bleibt zu zeigen, dass die euklidische Norm aller Zeilen \(1\) ist.
Aus \(A^{-1}=A^T\) folgt dass für jeden Vektor \(a\) aus \(A\) gilt: \(\langle a, a\rangle = 1\).
Dann ist \(\langle a,a\rangle = a_1^2+ \ldots + a_n^2 = \left(\sqrt{a_1^2+\ldots+a_n^2}\right)^2 = \left(||a||_2\right)^2 = 1^2 \implies ||a||_2=1\)
\(A=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right)\)
\((A-\lambda I)=\left(\begin{array}{lll}2-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & 3 - \lambda & 0 \\ 4 & 5 & 6 - \lambda\end{array}\right)\)
\(det(A-\lambda I)=0 = (2-\lambda)(3-\lambda)(6-\lambda)\implies \lambda = 2 \lor \lambda = 3 \lor \lambda = 6\)
Für \(\lambda=2:(A-2I)v_1=0\):
\(\left(\begin{array}{lll|l}x & y & z & \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 4 & 0\end{array}\right)\)
Dementsprechend gilt \(z=t\), \(x = -y\) und \(-x+4t=0\).
Dementsprechend ist \(v_1=t\cdot\left(\begin{array}{} 4\\-4\\1\end{array}\right):t \in\mathbb R\backslash\{0\}\). Dementsprechend ist die Dimension von \(v_1=1\).
Für \(\lambda=3:(A-3I)v_1=0\):
\(\left(\begin{array}{lll|l}x & y & z & \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 3 & 0\end{array}\right)\)
Mit \(I'=I+II\):
\(\left(\begin{array}{lll|l}x & y & z & \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 3 & 0\end{array}\right)\)
Dementsprechend gilt \(x=0\), \(y = t\) und \(4x+5y+3z=0\implies 5t+3z=0\implies z =-\frac{5}{3}t\).
Dementsprechend ist \(v_2=t\cdot\left(\begin{array}{} 0\\1\\-\frac{5}{3}\end{array}\right):t \in\mathbb R\backslash\{0\}\). Dementsprechend ist die Dimension von \(v_2=1\).
Für \(\lambda=6:(A-6I)v_1=0\):
\(\left(\begin{array}{lll|l}x & y & z & \\ -4 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 0 & 0\end{array}\right)\)
Dementsprechend gilt \(x=0\), \(y=0\) und \(z=t\).
Dementsprechend ist \(v_3=t\cdot\left(\begin{array}{} 0\\0\\1\end{array}\right):t \in\mathbb R\backslash\{0\}\). Dementsprechend ist die Dimension von \(v_3=1\).
Da die Summe der Dimensionen der Eigenvektoren \(\Sigma dim(v_i) = 3\), ist die Matrix \(A\) diagonalisierbar. Eine Diagonalmatrix ist
\(D=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right)\)
\(B=\left(\begin{array}{}-1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right)\)
\((B-\lambda I)=\left(\begin{array}{}-1-\lambda & 0 & -1 \\ 1 & -1-\lambda & 3 \\ 0 & 0 & -2-\lambda \end{array}\right)\)
\(det(B-\lambda I) = (-2-\lambda)\cdot det\left(\begin{array}{}-1-\lambda & 0 \\ 1 & -1-\lambda \end{array}\right)\)
\(0 = (-2-\lambda)(-1-\lambda)^2 \implies \lambda = -2\lor \lambda = -1\)
Für \(\lambda=-1\): \((B+1I)v_1=0\):
\(\left(\begin{array}{lll|l}x&y&z&\\0 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0\\0&0&-1&0\end{array}\right)\)
Dementsprechend gilt \(z=0\), \(x=0\) und \(y=v\).
Dementsprechend ist \(v_1=\left(\begin{array}{}0\\u\\0\end{array}\right): u\in\mathbb R\). Die Dimension von \(v_1=1\).
Für \(\lambda=-2\): \((B+2I)v_2=0\):
\(\left(\begin{array}{lll|l}x&y&z&\\1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 0\\0&0&0&0\end{array}\right)\)
Dementsprechend gilt: \(x=u\), \(z=-x=-u\) und \(u+y-3u=0\implies y-2u=0\implies y=2u\).
Dementsprechend ist \(v_2=\left(\begin{array}{}u\\2u\\-u\end{array}\right) : u\in\mathbb R\). Die Dimension von \(v_2=1\).
Da die Summe der Dimensionen der Eigenvektoren \(\Sigma dim(v_i)=2\neq 3\), dementsprechend ist \(B\) nicht diagonalisierbar.
\(A=\left(\begin{array}{}-2&-1&-1\\ 0 &2&4\\0&1&-1\end{array}\right)\).
\(A-\lambda I=\left(\begin{array}{}-2-\lambda&-1&-1\\ 0 &2-\lambda&4\\0&1&-1-\lambda\end{array}\right)\). \(det(A-\lambda I)=(-2-\lambda)\cdot det\left(\begin{array}{}2-\lambda &4 \\1&-1-\lambda\end{array}\right) = (-2-\lambda)((2-\lambda)(-1-\lambda)-4)=0\) \(\implies \lambda=-2\lor (2-\lambda)(-1-\lambda)=4\)
\((2-\lambda)(-1-\lambda)=-2+2\lambda-\lambda+\lambda^2=4\)
\(\lambda^2+\lambda-6=0\)
\(\lambda=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+6}\)
\(\lambda=-\frac{1}{2}\pm\frac{5}{2}\)
\(\implies \lambda=-2\lor\lambda=3\)
Für \(\lambda=-2\): \((A+2I)v_1=0\):
\(\left(\begin{array}{lll|l}x&y&z&\\0 & -1 & -1&0\\0 & 4& 4&0\\ 0 & 1&1&0\end{array}\right)\)
Dementsprechend ist \(x=u\) und \(y=-z=v\).
Dementsprechend ist \(v_1=\left(\begin{array}{}u\\v\\-v\end{array}\right) : u,v\in\mathbb R\)
Für \(\lambda=3\): \((A-3I)v_2=0\):
\(\left(\begin{array}{lll|l}x&y&z&\\-5 & -1 & -1&0\\0 & -1& 4&0\\ 0 & 1&-4&0\end{array}\right)\)
Dementsprechend ist \(z=u\), \(y-4z=y-4u=0\implies y=4u\) und \(-5x-y-z=-5x-4u-u=0\implies -5x=5u\implies x=-1\).
Dementsprechend ist \(v_2=\left(\begin{array}{}-u\\4u\\u\end{array}\right) : u\in\mathbb R\)
Eine Diagonalmatrix \(D\) zu \(A\) ist
\(D=\left(\begin{array}{}4&0&0\\0&-2&0\\0&0&-2\end{array}\right)\)
\(S=\left(\begin{array}{}-1&1&0\\4&0&-1\\1&0&1\end{array}\right)\)
\(A^{-1}=\left(\begin{array}{}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\0&\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\0&\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{array}\right)\)
\(S^{-1}=\left(\begin{array}{}0&\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\1&\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\0&-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{array}\right)\)