| Gruppennummer | Übungsleiterin | Name |
|---|---|---|
| 10 | Eya Chemangui | Roman Gräf |
| 07 | Keyoumars Kayhanfar | Krist-Obi Fredrick |
| 07 | Keyoumars Kayhanfar | Johannes Yaunan |
\(\langle(x_1,x_2)^T,(y_2,y_2)^T\rangle:=(x_1+x_2)\cdot y_1\)
Diese Konstruktion wiederspricht der Symmetrie von Skalarprodukten:
\(\langle(0,1)^T,(1,1)^T\rangle=(0+1)\cdot 1=1\ne 0 = (1+1)\cdot 0 =\langle(1,1)^T,(0,1)^T\rangle\)
\(\langle(x_1,x_2)^T,(y_1,y_2)^T\rangle :=(x_1+x_2)\cdot(y_1+y_2)\)
Diese Konstruktion wiederspricht der Definitheit von Skalarprodukten:
\(\langle(1,-1)^T,(1,-1)^T\rangle=(1+-1)\cdot(1+-1)=0\implies(1,-1)^T=0\)
\(\langle(x_1,x_2)^T,(y_1,y_2)^T\rangle:=x_1\cdot y_1 + 2\cdot x_2\cdot y_2\)
Definitheit:
\(\forall x\in\mathbb{R}^2:\langle x,x\rangle=x_1^2+2x^2_2\geq 0\), da die Summe von positiven Zahlen (die Quadrate in \(\mathbb{R}\) immer sind) immer nicht-negativ ist, ist das hier gegeben.
\(x_1^2+2x_2^2=0\implies x_1=0 \land x_2=0\) \(x_1=0,x_2=0\implies \langle x,x\rangle = 0^2+2\cdot 0^2=0\)
Symmetrie:
\(\forall x,y\in\mathbb{R}^2:\langle x,y\rangle=x_1\cdot y_1+2\cdot x_2\cdot y_2\stackrel{\text{Kommutativgesetz}}=y_1\cdot x_1+2\cdot y_2\cdot x_2=\langle y,x\rangle\)
Linearität im ersten Argument:
\(\forall x,y,z\in\mathbb{R}^2\forall\alpha,\beta\in\mathbb{R}:\langle\alpha x+\beta y,z\rangle=(\alpha x_1+\beta y_1)\cdot z_1+2\cdot(\alpha x_2+\beta y_2)\cdot z_2\) \(=\alpha\cdot x_1\cdot z_1+\beta \cdot y_1\cdot z_1+2\alpha \cdot x_2\cdot z_2+2\beta \cdot y_2\cdot z_2\) \(=\alpha\cdot x_1\cdot z_1+2\alpha \cdot x_2\cdot z_2+\beta \cdot y_1\cdot z_1+2\beta \cdot y_2\cdot z_2\) \(=\alpha\cdot x_1\cdot z_1+\alpha\cdot 2 \cdot x_2\cdot z_2+\beta \cdot y_1\cdot z_1+\beta\cdot 2 \cdot y_2\cdot z_2\) \(\alpha (x_1\cdot z_1+2\cdot x_2\cdot z_2)+\beta (y_1\cdot z_1+2\cdot y_2\cdot z_2)=\alpha\langle x,z\rangle+\beta \langle y,z\rangle\)
\(\langle(x_1,x_2)^T,(y_1,y_2)^T\rangle:=x_1\cdot y_1\cdot x_2\cdot y_2\)
Diese Konstruktion wiederspricht der Linearität im ersten Argument von Skalarprodukten:
\(x=y=z=(1,1)^T\)
\(\langle 1x+2y,z\rangle=(1x_1+2y_1)\cdot(1x_2+2y_2)\cdot z_1\cdot z_2=1+2+2+4\ne 1+2=1\langle x,z\rangle + 2\langle y, z\rangle\)
Zu zeigen: \(\forall b,b'\in M:b\ne b'\implies\forall \lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}:\lambda_1\cdot b+\lambda_2\cdot b'=0\implies \lambda_1=0\land\lambda_2=0\)
\(\lambda_1\cdot b+\lambda_2\cdot b'=0\implies \lambda_1\cdot b\cdot b+\lambda_2\cdot b'\cdot b=0\). Da \(b\cdot b'=0:\lambda_1\cdot b\cdot b=0\). Da \(b\ne 0\), gilt \(\lambda_1=0\).
\(\lambda_1\cdot b+\lambda_2\cdot b'=0\implies \lambda_1\cdot b\cdot b'+\lambda_2\cdot b'\cdot b'=0\). Da \(b'\cdot b=0:\lambda_2\cdot b'\cdot b'=0\). Da \(b'\ne 0\), gilt \(\lambda_2=0\).
Daraus folgt \(M\) ist linear unabhängig.
\(v_1\cdot v_2=(\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}})(1+1-2)=0\)
\(v1\cdot v_3=(\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}})(1-1+0)=0\)
\(v2\cdot v_3=(\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}})(1-1+0)=0\)
Daraus folgt die lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren, daraus dass sie paarweise orthogonal sind und daraus das es sich um eine Orthogonalbasis handelt.
\(|v_1|=\frac{1}{\sqrt 3}\sqrt{1+1+1}=\frac{\sqrt 3}{\sqrt 3}=1\)
\(|v_2|=\frac{1}{\sqrt 6}\sqrt{1+1+4}=\frac{\sqrt 6}{\sqrt 6}=1\)
\(|v_3|=\frac{1}{\sqrt 2}\sqrt{1+1+0}=\frac{\sqrt 2}{\sqrt 2}=1\)
Da es sich bei allen Vektoren um normalisierte Vektoren handelt, handelt es sich um eien Orthonormalbasis.
\(v=a\cdot v_1+b\cdot v_2+c\cdot v_3\)
\[\begin{array}\\ I: &\frac{a}{\sqrt 3}&+\frac{b}{\sqrt 6}&+\frac{c}{\sqrt 2}&=1\\ II:&\frac{a}{\sqrt 3}&+\frac{b}{\sqrt 6}&-\frac{c}{\sqrt 2}&=4\\ III:&\frac{a}{\sqrt 3}&-\frac{2b}{\sqrt 6}&&=5 \end{array}\]
\[\begin{array}\\ I: &\frac{a}{\sqrt 3}&+\frac{b}{\sqrt 6}&+\frac{c}{\sqrt 2}&=1\\ II-I:&&&-\frac{2c}{\sqrt 2}&=3\\ III-I:&&-\frac{3b}{\sqrt 6}&-\frac{c}{\sqrt 2}&=4 \end{array}\]
\(c=-\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
In \(III-I\) einsetzen:
\(-\frac{3b}{\sqrt 6}-\frac{-\frac{3}{\sqrt{2}}}{\sqrt 2}=4\)
\(-\frac{3b}{\sqrt 6}=\frac{5}{2}\)
\(b=\frac{-5\sqrt 6}{6}\)
In \(I\) einsetzen:
\(\frac{a}{\sqrt 3}+\frac{-5}{6}+\frac{-3}{2}=1\)
\(a=\frac{10\sqrt 3}{3}\)
\(v=\frac{10\sqrt 3}{3}\frac{1}{\sqrt 3}v_1-\frac{5\sqrt 6}{6}\frac{1}{\sqrt 6}v_2-\frac{3\sqrt 2}{2}\frac{1}{\sqrt 2}v_3\)