| Gruppennummer | Übungsleiterin | Name |
|---|---|---|
| 10 | Eya Chemangui | Roman Gräf |
Bitte Aufgabe H2.2 und H2.3 bewerten.
\(f(a)=f(a)\) ist gegeben, dementsprechend ist reflexivität erfüllt
\(f(a)=f(b)\iff f(b)=f(a)\) ist gegeben, dementsprechend ist symmetrie gegeben.
\(f(a)=f(b)\land f(b)=f(c)\implies f(a)=f(c)\), dementsprechend ist transitivität gegeben.
Da alle 3 Eigenschaften einer Äquivalenzrelation gegeben sind, handelt es sich bei \(A\) um eine.
\[sup(B)=max(B)=2\] \[inf(B)=1\] Es existiert kein Minimum für \(B\). \(B\) ist nach unten beschränkt.
\[i=min(inf(C), inf(D))\]
Aufgrund der Transitivität von \(\le\) ist garantiert, dass \((\forall x\in C:i\le inf(C)\le x)\land(\forall x\in D:i\le inf(D)\le x)\), dementsprechend ist \(i\) eine untere Schranke von \(C\cup D\).
Es kann auch keine größere Schranke als \(i\) geben, da das Infimum als größte Schranke immer dicht an einem Wert aus der Menge liegt. D.h. das jeder Wert über einem der beiden \(inf(C)\) oder \(inf(D)\) garantiert über einem Wert von entweder \(C\) oder \(D\) liegt, dementsprechend über einem Wert von \(C\cup D\).
Daraus folgt dass es sich bei \(i\) um die größte untere Schranke von \(C\cup D\) handelt, also das Infimum.
Die Definition des Urbilds (für \(M\subseteq X\): \(f^{-1}(M):=\{x\in X:f(x)\in M\}\)) garantiert \(a\in f^{-1}(f(A))\), falls \(f(a)\in f(A)\)
\[a\in A\implies f(a)\in f(A)\implies a\in f^{-1}(f(A))\]
\[U=f^{-1}(f(A))\] Durch (a) ist bewiesen das \(A\subseteq U\). Für Gleichheit muss nur noch \(U\subseteq A\) bewiesen werden.
\(\forall u\in U\) gilt \(f(u)\in f(A)=\{f(x):x\in A\}\implies \exists x\in A: f(x)=f(u)\). Da \(f\) injektiv ist, ist garantiert das \(u=x\), dementsprechend ist jedes \(u\in A\implies U\subseteq A\).