Gruppennumer	Übungsleiterin	Übungsnummer	Name
10	Eya Chemangui	01	Roman Gräf

Hausübungen

Bitte H1.1 und H1.2 bewerten.

Aufgabe H1.1

a)

"Es gibt eine kleinste natürliche Zahl" ist eine wahre Aussage.
\(\exists x \in \mathbb{Q} | x^2 = 2\) ist eine falsche Aussage.
"Die Zahl 99 ist kleiner." ist keine Aussage.
"Es gibt Leben auf anderen Planeten." ist eine Aussage. Der Wahrheitswert ist für mich leider nicht möglich zu bestimmen.
"Zu Hilfe, zu Hilfe!" ist keine Aussage.
\(\exists y\in \mathbb{N} | x + y \leq 3\) ist eine Aussage. Der Wahrheitswert lässt sich ohne die Variable x leider nicht bestimmen. Falls \(x\) aus der Aussage (ii) gemeint ist, so handelt es sich um eine wahre Aussage.

b)

Die Menge der ganzen Zahlen besitzt ein größtes Element

\(\exists x \in \mathbb{Z} | \forall y \in \mathbb{Z} | y \leq x\)

Negation: Die Menge der ganzen Zahlen besitzt kein größtes Element \(\neg (x \in \mathbb{Z} | \forall y \in \mathbb{Z} | y \leq x) \iff \forall x \in \mathbb{Z} | \exists y \in \mathbb{Z} | x \leq y\)

Jede natürliche Zahl ist gleich Null oder von der Form \(n+1\) mit \(n\in\mathbb{N}\)

\(\forall x \in \mathbb{N} | [(x = 0) \lor(\exists n \in \mathbb{N}|x = n + 1)]\)

Aufgabe H1.2

a)

\(K\cap L = [4,7]\)
\(K\backslash L = (2,4)\)
\(K\times L = \lbrace(x,y)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}|(2<x\le 7)\land(4\le y < 9)\rbrace\)

b) \(A = \lbrace\lbrace 1\rbrace,2\rbrace\)

\(\lbrace\lbrace 1\rbrace\rbrace \in \wp(A)\) - wahr
\(\lbrace\lbrace 1\rbrace\rbrace \subseteq \wp(A)\) - falsch
\(\lbrace\lbrace 2\rbrace\rbrace \in \wp(A)\) - falsch
\(\lbrace\lbrace 2\rbrace\rbrace \subseteq \wp(A)\) - wahr
\(\lbrace\lbrace 1\rbrace,2\rbrace \in \wp(A)\) - wahr
\(\lbrace\lbrace 1\rbrace,2\rbrace \subseteq \wp(A)\) - falsch

Aufgabe H1.3

a)

\(R_1\) ist reflexiv, transitiv und symmetrisch, aber nicht antisymmetrisch. Es handelt sich weder im eine Äquivalenzrelation.
\(R_2\) ist antisymmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv oder symmetrisch. Es handelt sich weder im eine Äquivalenzrelation, noch um eine Ordnungsrelation.
\(R_3\) ist antisymmetrisch, reflexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch. Es handelt sich um eine Ordnungsrelation.

b)

Die Relation \(R\) genau dann eine Totalordnung auf einer Menge \(X\) ist, wenn sie für jede zwei Elemente von \(X\) mindestens einen Eintrag (x,y) oder (y,x) enthält. Da \(R\) der Durchschnitt von \(R_1\) und \(R_2\) ist, müssen sowohl \(R_1\) als auch \(R_2\) alle für jedes \(x\in X,y\in X\) genau entweder \((x,y)\) oder \((y,x)\) enthalten.

Gruppenübungen

Aufgabe G1.1

a)

\(\neg(A\land B)\iff (\neg A) \lor (\neg B)\)

\(A\)	\(B\)	\(\neg(A\land B)\)	\((\neg A) \lor (\neg B)\)
0	0	1	1
0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	0	0

Wahrheitstabellen stimmen überein.

\(\neg(A\lor B)\iff (\neg A) \land (\neg B)\)

\(A\)	\(B\)	\(\neg(A\lor B)\)	\((\neg A) \land (\neg B)\)
0	0	1	1
0	1	0	0
1	0	0	0
1	1	0	0

Wahrheitstabellen stimmen überein.

b)

\([A\implies B]\iff [(\neg B)\implies(\neg A)]\)

\(A\)	\(B\)	\(A \implies B\)	\((\neg B)\implies(\neg A)\)
0	0	1	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	1	1	1

Wahrheitstabellen stimmen überein.

c)

\(A\)	\(B\)	\(A \implies B\)	\(B\implies A\)
0	0	1	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	1	1	1

Wahrheitstabellen stimmen nicht überein.

Aufgabe G1.2

a) \(\forall x \in W | F(x)\)

Alle Wände die ein Fenster haben.

Negiert: \(\exists x \in W | \neg F(x)\)

Es gibt eine Wand die kein Fenster hat.

b) \(\forall x \in W | (T(X)\implies(\neg F(X)))\)

Alle Wände die Türen haben, haben keine Fenster.

Negiert: \(\exists x \in W | (T(X)\land F(X))\) Es gibt eine Wand die sowohl Tür als auch Fenster hat.

Aufgabe G1.3

Venn Diagram Das pinke Kreuz ist in \((A\cup B)\backslash(A\cap C)\), aber nicht in \(A \cap(B\backslash C)\)

Aufgabe G1.4

a)

\[M = \mathbb{N} \\ R = \lbrace(n,m) \in M \times M | n = m\rbrace\]

b)

\[M = \lbrace0,1\rbrace \\ R = \lbrace(0,1)\rbrace\]

c)

\[M = \lbrace0,1\rbrace \\ R = \lbrace(0,1),(1,0)\rbrace\]